1、費(fèi)馬大定理證明過(guò)程: 　　對(duì)費(fèi)馬方程x^n+y^n=z^n整數(shù)解關(guān)系的證明，多年來(lái)在數(shù)學(xué)界一直頗多爭(zhēng)議。

2、本文利用平面幾何方法，全面分析了直角三角形邊長(zhǎng)a^2+b^2=c^2整數(shù)解的存在條件，提出對(duì)多元代數(shù)式應(yīng)用增元求值。

3、本文給出的直角三角型邊長(zhǎng)a^2+b^2=c^2整數(shù)解的“定a計(jì)算法則”；“增比計(jì)算法則”；“定差公式法則”；“a值奇偶數(shù)列法則”；是平方整數(shù)解的代數(shù)條件和實(shí)踐方法；本文提出建立了一元代數(shù)式的絕對(duì)方冪式與絕對(duì)非方冪式概念；本文利用同方冪數(shù)增比性質(zhì)，利用整數(shù)方冪數(shù)增項(xiàng)差公式性質(zhì)，把費(fèi)馬方程x^n+y^n=z^n原本三元高次不定方程的整數(shù)解判定問(wèn)題，巧妙地化為了一元定解方程問(wèn)題。

(資料圖片)

4、 　　關(guān)鍵詞：增元求解法 絕對(duì)方冪式絕對(duì)非方冪式 相鄰整數(shù)方冪數(shù)增項(xiàng)差公式 　　引言：1621年，法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬（Fermat）在讀看古希臘數(shù)學(xué)家丟番圖（Diophantna）著寫(xiě)的算術(shù)學(xué)一書(shū)時(shí)，針對(duì)書(shū)中提到的直角三角形三邊整數(shù)關(guān)系，提出了方程x^n+y^n=z^n在n=2時(shí)有無(wú)窮多組整數(shù)解，在n＞2時(shí)永遠(yuǎn)沒(méi)有整數(shù)解的觀點(diǎn)。

5、并聲稱自己當(dāng)時(shí)進(jìn)行了絕妙的證明。

6、這就是被后世人稱為費(fèi)馬大定理的曠世難題。

7、時(shí)至今日，此問(wèn)題的解答仍繁難冗長(zhǎng)，紛爭(zhēng)不斷，令人莫衷一是。

8、 　　本文利用直角三角形、正方形的邊長(zhǎng)與面積的相互關(guān)系，建立了費(fèi)馬方程平方整數(shù)解新的直觀簡(jiǎn)潔的理論與實(shí)踐方法，本文利用同方冪數(shù)增比定理，對(duì)費(fèi)馬方程x^n+y^n=z^n在指數(shù)n＞2時(shí)的整數(shù)解關(guān)系進(jìn)行了分析論證，用代數(shù)方法再現(xiàn)了費(fèi)馬當(dāng)年的絕妙證明。

9、 　　定義1．費(fèi)馬方程 　　人們習(xí)慣上稱x^n+y^n=z^n關(guān)系為費(fèi)馬方程，它的深層意義是指：在指數(shù)n值取定后，其x、y、z均為整數(shù)。

10、 　　在直角三角形邊長(zhǎng)中，經(jīng)常得到a、b、c均為整數(shù)關(guān)系，例如直角三角形 3 、4、 5 ，這時(shí)由勾股弦定理可以得到3^2+4^2=5^2，所以在方次數(shù)為2時(shí)，費(fèi)馬方程與勾股弦定理同階。

11、當(dāng)指數(shù)大于2時(shí)，費(fèi)馬方程整數(shù)解之研究，從歐拉到狄里克萊，已經(jīng)成為很大的一門(mén)數(shù)學(xué)分支. 　　定義2．增元求解法 　　在多元代數(shù)式的求值計(jì)算中引入原計(jì)算項(xiàng)元以外的未知數(shù)項(xiàng)元加入，使其構(gòu)成等式關(guān)系并參與求值運(yùn)算。

12、我們把利用增加未知數(shù)項(xiàng)元來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)多元代數(shù)式求值的方法，叫增元求解法。

13、 　　利用增元求解法進(jìn)行多元代數(shù)式求值，有時(shí)能把非常復(fù)雜的問(wèn)題變得極其簡(jiǎn)單。

14、 　　下面，我們將利用增元求解法來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)直角三角形三邊a^2+b^2=c^2整數(shù)解關(guān)系的求值。

15、 　　一，直角三角形邊長(zhǎng)a^2+b^2=c^2整數(shù)解的“定a計(jì)算法則” 　　定理1．如a、b、c分別是直角三角形的三邊，Q是增元項(xiàng)，且Q≥1，滿足條件： 　　a≥3 　　{ b=（a^2-Q^2）÷2Q 　　c= Q+b 　　則此時(shí)，a^2+b^2=c^2是整數(shù)解； 　　證：在正方形面積關(guān)系中，由邊長(zhǎng)為a得到面積為a^2，若（a^2-Q^2）÷2Q=b（其中Q為增元項(xiàng)，且b、Q是整數(shù)）,則可把面積a^2分解為a^2=Q^2+Qb+Qb，把分解關(guān)系按下列關(guān)系重新組合后可得到圖形： 　　Q2 Qb 　　其缺口剛好是一個(gè)邊長(zhǎng)為b的正方形。

16、補(bǔ)足缺口面積b^2后可得到一個(gè)邊長(zhǎng) 　　Qb 　　為Q+b的正方形，現(xiàn)取Q+b=c，根據(jù)直角三角形邊長(zhǎng)關(guān)系的勾股弦定理a^2+b^2=c^2條件可知，此時(shí)的a、b、c是直角三角形的三個(gè)整數(shù)邊長(zhǎng)。

17、 　　故定理1得證 　　應(yīng)用例子： 　　例1． 利用定a計(jì)算法則求直角三角形a邊為15時(shí)的邊長(zhǎng)平方整數(shù)解? 　　解：取 應(yīng)用例子：a為15，選增元項(xiàng)Q為1，根據(jù)定a計(jì)算法則得到： 　　a= 15 　　{ b=（a^2- Q^2）÷2Q=（15^2-1^2）÷2 =112 　　c=Q+b=1+112=113 　　所以得到平方整數(shù)解15^2+112^2=113^2 　　再取a為15，選增元項(xiàng)Q為3，根據(jù)定a計(jì)算法則得到： 　　a= 15 　　{ b=（a^2-Q^2）÷2Q=（15^2-3^2）÷6=36 　　c=Q+b=3+36=39 　　所以得到平方整數(shù)解15^2+36^2=39^2 　　定a計(jì)算法則，當(dāng)取a=3、4、5、6、7 … 時(shí)，通過(guò)Q的不同取值，將函蓋全部平方整數(shù)解。

18、 　　二，直角三角形邊長(zhǎng)a^2+b^2=c^2整數(shù)解“增比計(jì)算法則” 　　定理2．如a^2+b^2=c^2 是直角三角形邊長(zhǎng)的一組整數(shù)解，則有（an）^2+（bn）^2 =（cn）^2（其中n=2、3…）都是整數(shù)解。

19、 　　證：由勾股弦定理，凡a^2+b^2=c^2是整數(shù)解必得到一個(gè)邊長(zhǎng)都為整數(shù)的直角三角形 a c ，根據(jù)平面線段等比放大的原理，三角形等比放大得到 2a 2c； 　　b 2b 　　3a 3c；4a 4c；… 由a、b、c為整數(shù)條件可知，2a、2b、2c； 　　3b 4b 　　3a、3b、3c；4a、4b、4c… na、nb、nc都是整數(shù)。

20、 　　故定理2得證 　　應(yīng)用例子： 　　例2．證明303^2+404^2=505^2是整數(shù)解？ 　　解；由直角三角形3 5 得到3^2+4^2=5^2是整數(shù)解，根據(jù)增比計(jì) 　　4 　　算法則，以直角三角形 3×101 5×101 關(guān)系為邊長(zhǎng)時(shí)，必有 　　4×101 　　303^2+404^2=505^2是整數(shù)解。

21、 　　三，直角三角形邊長(zhǎng)a^2+b^2=c^2整數(shù)解“定差公式法則” 　　3a + 2c + n = a1 　?。ㄟ@里n=b-a之差，n=2、3…） 　　定理3．若直角三角形a^2+^b2=c^2是滿足b-a=n關(guān)系的整數(shù)解，那么，利用以上3a+2c+ n = a1公式連求得到的aa2、a3…ai 所組成的平方數(shù)組ai^2+bi^2=ci^2都是具有b-a=n之定差關(guān)系的整數(shù)解。

22、 　　證：取n為1，由直角三角形三邊3、4、5得到3^2+4^2=5^2，這里n=b-a=4-3=1，根據(jù) 3a + 2c + 1= a1定差公式法則有： 　　a1=3×3+2×5+1=20 這時(shí)得到 　　20^2+21^2=29^2 繼續(xù)利用公式計(jì)算得到： 　　a2=3×20+2×29+1=119 這時(shí)得到 　　119^2+120^2=169^2 繼續(xù)利用公式計(jì)算得到 　　a3=3×119+2×169+1=696 這時(shí)得到 　　696^2+697^2=985^2 　　… 　　故定差為1關(guān)系成立 　　現(xiàn)取n為7，我們有直角三角形21^2+28^2=35^2，這里n=28-21=7，根據(jù) 3a + 2c + 7 = a1定差公式法則有： 　　a1=3×21+2×35+7=140 這時(shí)得到 　　140^2+147^2=203^2 繼續(xù)利用公式計(jì)算得到： 　　a2=3×140+2×203+7=833 這時(shí)得到 　　833^2+840^2=1183^2 繼續(xù)利用公式計(jì)算得到： 　　a3=3×833+2×1183+7=4872 這時(shí)得到 　　4872^2+4879^2=6895^2 　　… 　　故定差為7關(guān)系成立 　　再取n為129，我們有直角三角形387^2+516^2=645^2，這里n=516-387=129，根據(jù) 3a + 2c + 129= a1定差公式法則有： 　　a1=3×387+2×645+129=2580 這時(shí)得到 　　2580^2+2709^2=3741^2 繼續(xù)利用公式計(jì)算得到： 　　a2=3×2580+2×3741+129=15351 這時(shí)得到 　　15351^2+15480^2=21801^2 繼續(xù)利用公式計(jì)算得到： 　　a3=3×15351+2×21801+129=89784 這時(shí)得到 　　89784^2+89913^2=127065^2 　　… 　　故定差為129關(guān)系成立 　　故定差n計(jì)算法則成立 　　故定理3得證 　　四，平方整數(shù)解a^2+^b2=c^2的a值奇偶數(shù)列法則： 　　定理4． 如a^2+^b2=c^2是直角三角形的三個(gè)整數(shù)邊長(zhǎng)，則必有如下a值的奇數(shù)列、偶數(shù)列關(guān)系成立； 　　（一） 奇數(shù)列a： 　　若a表為2n+1型奇數(shù)（n=2、3 …）， 則a為奇數(shù)列平方整數(shù)解的關(guān)系是： 　　a=2n+1 　　{ c=n^2+（n+1）^2 　　b=c-1 　　證：由本式條件分別取n=2、3 … 時(shí)得到： 　　3^2+4^2=5^2 　　5^2+12^2=13^2 　　7^2+24^2=25^2 　　9^2+40^2=41^2 　　11^2+60^2=61^2 　　13^2+84^2=85^2 　　… 　　故得到奇數(shù)列a關(guān)系成立 　?。ǘ┡紨?shù)列a： 　　若a表為2n+2型偶數(shù)（n=2、3 …）， 則a為偶數(shù)列平方整數(shù)解的關(guān)系是： 　　a=2n+2 　　{ c=1+（n+1）^2 　　b=c-2 　　證：由本式條件分別取n=2、3 … 時(shí)得到： 　　4^2+3^2=5^2 　　6^2+8^2=10^2 　　8^2+15^2=17^2 　　10^2+24^2=26^2 　　12^2+35^2=37^2 　　14^2+48^2=50^2 　　… 　　故得到偶數(shù)列a關(guān)系成立 　　故定理4關(guān)系成立 　　由此得到,在直角三角形a、b、c三邊中： 　　b-a之差可為2、3… 　　a-b之差可為2、3… 　　c-a之差可為2、3… 　　c-b之差可為2、3… 　　定差平方整數(shù)解有無(wú)窮多種； 　　每種定差平方整數(shù)解有無(wú)窮多個(gè)。

23、 　　以上，我們給出了平方整數(shù)解的代數(shù)條件和實(shí)踐方法。

24、我們同樣能夠用代數(shù)方法證明，費(fèi)馬方程x^n+y^n=z^n在指數(shù)n＞2時(shí)沒(méi)有整數(shù)解。

25、證明如下： 　　我們首先證明，增比計(jì)算法則在任意方次冪時(shí)都成立。

26、 　　定理5，若a，b，c都是大于0的不同整數(shù)，m是大于1的整數(shù)，如有a^m+b^m=c^m+d^m+e^m同方冪關(guān)系成立，則a，b，c，d，e增比后，同方冪關(guān)系仍成立。

27、 　　證：在定理原式 a^m+b^m=c^m+d^m+e^m中，取增比為n，n＞1， 　　得到 ： （n a）^m+（nb）^m=（nc）^m+（nd）^m+（ne）^m 　　原式化為 ： n^m（a^m+b^m）=n^m（c^m+d^m+e^m） 　　兩邊消掉 n^m后得到原式。

28、 　　所以，同方冪數(shù)和差式之間存在增比計(jì)算法則，增比后仍是同方冪數(shù)。

29、 　　故定理5得證 　　定理6，若a，b，c是不同整數(shù)且有a^m+b=c^m關(guān)系成立，其中b＞1，b不是a，c的同方冪數(shù)，當(dāng)a，b，c同比增大后，b仍然不是a，c的同方冪數(shù)。

30、 　　證：取定理原式a^m+b=c^m 　　取增比為n，n＞1，得到：（na）^m+n^mb=（nc）^m 　　原式化為： n^m（a^m+b）=n^mc^m 　　兩邊消掉n^m后得到原式。

31、 　　由于b不能化為a，c的同方冪數(shù)，所以n^mb也不能化為a，c的同方冪數(shù)。

32、 　　所以，同方冪數(shù)和差式間含有的不是同方冪數(shù)的數(shù)項(xiàng)在共同增比后，等式關(guān)系仍然成立。

33、其中的同方冪數(shù)數(shù)項(xiàng)在增比后仍然是同方冪數(shù)，不是同方冪數(shù)的數(shù)項(xiàng)在增比后仍然是非同方冪數(shù)。

34、 　　故定理6得證 　　一元代數(shù)式的絕對(duì)方冪與絕對(duì)非方冪性質(zhì) 　　定義3，絕對(duì)某次方冪式 　　在含有一元未知數(shù)的代數(shù)式中，若未知數(shù)取值為大于0的全體整數(shù)時(shí)，代數(shù)式的值都是某次完全方冪數(shù)，我們稱這時(shí)的代數(shù)式為絕對(duì)某次方冪式。

35、例如：n^2+2n+1，n^2+4n+4， 　　n^2+6n+9，……都是絕對(duì)2次方冪式；而n^3+3n^2+3n+1，n^3+6n^2+12n+8，……都是絕對(duì)3次方冪式。

36、 　　一元絕對(duì)某次方冪式的一般形式為（n+b）^m（m＞1，b為常數(shù)項(xiàng)）的展開(kāi)項(xiàng)。

37、 　　定義4，絕對(duì)非某次方冪式 　　在含有一元未知數(shù)的代數(shù)式中，若未知數(shù)取值為大于0的全體整數(shù)時(shí)，代數(shù)式的值都不是某次完全方冪數(shù)，我們稱這時(shí)的代數(shù)式為絕對(duì)非某次方冪式。

38、例如：n^2+1，n^2+2，n^2+2n，…… 都是絕對(duì)非2次方冪式；而n^3+1，n^3+3n^2+1，n^3+3n+1，3n^2+3n+1，n^3+6n^2+8……都是絕對(duì)非3次方冪式。

39、 　　當(dāng)一元代數(shù)式的項(xiàng)數(shù)很少時(shí)，我們很容易確定代數(shù)式是否絕對(duì)非某次方冪式，例如n^2+n是絕對(duì)非2次方冪式，n^7+n是絕對(duì)非7次方冪式，但當(dāng)代數(shù)式的項(xiàng)數(shù)很多時(shí)，得到絕對(duì)非某次方冪式的條件將越來(lái)越苛刻。

40、 　　一元絕對(duì)非某次方冪式的一般形式為：在（n+b）^m（m＞2，b為常數(shù)項(xiàng)）的展開(kāi)項(xiàng)中減除其中某一項(xiàng)。

41、 　　推理：不是絕對(duì)m次方冪式和絕對(duì)非m次方冪式的方冪代數(shù)式必定在未知數(shù)取某一值時(shí)得出一個(gè)完全m次方數(shù)。

42、例如：3n^2+4n+1不是絕對(duì)非3次方冪式，取n=1時(shí)有3n^2+4n+1=8=2^3，3n^2+3n+1不是絕對(duì)非2次方冪式，當(dāng)n=7時(shí)，3n^2+3n+1=169=13^2; 　　推理：不含方冪項(xiàng)的一元代數(shù)式對(duì)任何方冪沒(méi)有唯一性。

43、2n+1=9=3^2，2n+1=49=7^2 …… 4n+4=64=8^2，4n+4=256=16^2 ……2n+1=27=3^3，2n+1=125=5^3 …… 　　證明：一元代數(shù)式存在m次絕對(duì)非方冪式； 　　在一元代數(shù)式中，未知數(shù)的不同取值，代數(shù)式將得到不同的計(jì)算結(jié)果。

44、未知數(shù)與代式計(jì)算結(jié)果間的對(duì)應(yīng)關(guān)系是唯一的，是等式可逆的，是純粹的定解關(guān)系。

45、這就是一元代數(shù)式的代數(shù)公理。

46、即可由代入未知數(shù)值的辦法對(duì)代數(shù)式求值，又可在給定代數(shù)式數(shù)值的條件下反過(guò)來(lái)對(duì)未知數(shù)求值。

47、利用一元代數(shù)式的這些性質(zhì)，我們可實(shí)現(xiàn)整數(shù)的奇偶分類、余數(shù)分類和方冪分類。

48、 　　當(dāng)常數(shù)項(xiàng)為1時(shí)，完全立方數(shù)一元代數(shù)表達(dá)式的4項(xiàng)式的固定形式是（n+1）^3=n^3+3n^2+3n+1，它一共由包括2個(gè)方冪項(xiàng)在內(nèi)的4個(gè)單項(xiàng)項(xiàng)元組成，對(duì)這個(gè)代數(shù)式中3個(gè)未知數(shù)項(xiàng)中任意一項(xiàng)的改動(dòng)和缺失，代數(shù)式都無(wú)法得出完全立方數(shù)。

49、在保留常數(shù)項(xiàng)的前提下，我們鎖定其中的任意3項(xiàng)，則可得到必定含有方冪項(xiàng)的3個(gè)不同的一元代數(shù)式，n^3+3n^2+1，n^3+3n+1，3n^2+3n+1，對(duì)這3個(gè)代數(shù)式來(lái)說(shuō)，使代數(shù)式的值成為立方數(shù)只能有唯一一個(gè)解，即補(bǔ)上缺失的第4項(xiàng)值，而且這個(gè)缺失項(xiàng)不取不行，取其它項(xiàng)值也不行。

50、因?yàn)檫@些代數(shù)式與原立方代數(shù)式形成了固定的單項(xiàng)定差代數(shù)關(guān)系，這種代數(shù)關(guān)系的存在與未知數(shù)取值無(wú)關(guān)。

51、這種關(guān)系是： 　?。╪+1）^3-3n= n^3+3n^2+1 　?。╪+1）^3-3n^2= n^3+3n+1 　?。╪+1）^3-n^3=3n^2+3n+1 　　所以得到：當(dāng)取n=2、3、4、5 … 　　n^3+3n^2+1≠（n+1）^3 　　n^3+3n+1≠（n+1）^3 　　3n2+3n+1≠（n+1）^^3 　　即這3個(gè)代數(shù)式的值都不能等于（n+1）^3形完全立方數(shù)。

52、 　　當(dāng)取n=2、3、4、5 …時(shí)，（n+1）^3=n^3+3n^2+3n+1的值是從2開(kāi)始的全體整數(shù)的立方，而 小于2的整數(shù)只有1，1^3=1，當(dāng)取n=1時(shí)， 　　n^3+3n^2+1=5≠1 　　n^3+3n+1=5≠1 　　3n^2+3n+1=7≠1 　　所以得到：當(dāng)取n=2、3、4、5 …時(shí)，代數(shù)式n^3+3n^2+1，n^3+3n+1，3n^2+3n+1的值不等于全體整數(shù)的立方數(shù)。

53、這些代數(shù)式是3次絕對(duì)非方冪式。

54、 　　由以上方法我們能夠證明一元代數(shù)式：n^4+4n^3+6n^2+1，n^4+4n^3+4n+1，n^4+6n^2+4n+1，4n^3+6n^2+4n+1，在取n=2、3、4、5 …時(shí)的值永遠(yuǎn)不是完全4次方數(shù)。

55、這些代數(shù)式是4次絕對(duì)非方冪式。

56、 　　能夠證明5次方以上的一元代數(shù)式（n+1）^m的展開(kāi)項(xiàng)在保留常數(shù)項(xiàng)的前提下，鎖定其中的任意m項(xiàng)后，可得到m個(gè)不同的一元代數(shù)式，這m個(gè)不同的一元代數(shù)式在取n=2、3、4、5 …時(shí)的值永遠(yuǎn)不是完全m次方數(shù)。

57、這些代數(shù)式是m次絕對(duì)非方冪式。

58、 　　現(xiàn)在我們用代數(shù)方法給出相鄰兩整數(shù)n與n+1的方冪數(shù)增項(xiàng)差公式； 　　2次方時(shí)有：（n+1）^2-n^2 　　=n^2+2n+1-n^2 　　=2n+1 　　所以，2次方相鄰整數(shù)的平方數(shù)的增項(xiàng)差公式為2n+1。

59、 　　由于2n+1不含有方冪關(guān)系，而所有奇數(shù)的冪方都可表為2n+1，所以，當(dāng)2n+1為完全平方數(shù)時(shí)，必然存在n^2+（2√2n+1）^2=（n+1）^2即z-x=1之平方整數(shù)解關(guān)系，應(yīng)用增比計(jì)算法則，我們即可得到z-x=2，z-x=3，z-x=4，z-x=5……之平方整數(shù)解關(guān)系。

60、但z-x＞1的xyz互素的平方整數(shù)解不能由增比法則得出，求得這些平方整數(shù)解的方法是： 　　由（n+2）^2-n^2=4n+4為完全平方數(shù)時(shí)得出全部z-x=2的平方整數(shù)解后增比； 　　由（n+3）^2-n^2=6n+9為完全平方數(shù)時(shí)得出全部z-x=3的平方整數(shù)解后增比； 　　由（n+4）^2-n^2=8n+16為完全平方數(shù)時(shí)得出全部z-x=4的平方整數(shù)解后增比； 　　…… 　　這種常數(shù)項(xiàng)的增加關(guān)系適合于全體整數(shù)，當(dāng)取n=2、3 … 時(shí)，我們可得到整數(shù)中全部平方整數(shù)解。

61、 　　所以費(fèi)馬方程x^n+y^n=z^n在指數(shù)為2時(shí)成立。

62、 　　同時(shí)，由于所有奇數(shù)的冪方都可表為2n+1及某些偶數(shù)的冪方可表為4n+4，6n+9，8n+16 …… 所以，還必有x^2+y^n=z^2整數(shù)解關(guān)系成立。

63、 　　3次方時(shí)有：（n+1）^3-n^3 　　=n^3+3n^2+3n+1-n^3 　　=3n^2+3n+1 　　所以，3次方相鄰整數(shù)的立方數(shù)的增項(xiàng)差公式為3n^2+3n+1。

64、 　　由于3n^2+3n+1是（n+1）^3的缺項(xiàng)公式，它仍然含有冪方關(guān)系，是3次絕對(duì)非方冪式。

65、所以，n為任何整數(shù)時(shí)3n^2+3n+1的值都不是完全立方數(shù)，因而整數(shù)間不存在n^3+（3√3n^2+3n+1 ）^3=（n+1）^3即z-x=1之立方整數(shù)解關(guān)系，由增比計(jì)算法則可知，也不存在z-x=2，z-x=3，z-x=4，z-x=5……之立方整數(shù)解關(guān)系。

66、但z-x＞1的xyz互素的費(fèi)馬方程式不能由增比法則表出，表出這些立方費(fèi)馬方程式的方法是： 　　由（n+2）^3-n^3=6n2+12n+8，所以，n為任何整數(shù)它的值都不是完全立方數(shù)； 　　由（n+3）^3-n^3=9n2+27n+27，所以，n為任何整數(shù)它的值都不是完全立方數(shù)； 　　由（n+4）^3-n^3=12n2+48n+64，所以，n為任何整數(shù)它的值都不是完全立方數(shù)； 　　…… 　　這種常數(shù)項(xiàng)的增加關(guān)系適合于全體整數(shù)，當(dāng)取n=2、3 … 時(shí)，費(fèi)馬方程3次方關(guān)系經(jīng)過(guò)增比后將覆蓋全體整數(shù)。

67、 　　所以費(fèi)馬方程x^n+y^n=z^n在指數(shù)為3時(shí)無(wú)整數(shù)解。

68、 　　4次方時(shí)有；（n+1）^4-n^4 　　=n^4+4n^3+6n^2+4n+1-n^4 　　=4n^3+6n^2+4n+1 　　所以，4次方相鄰整數(shù)的4次方數(shù)的增項(xiàng)差公式為4n^3+6n^2+4n+1。

69、 　　由于4n^3+6n^2+4n+1是（n+1）^4的缺項(xiàng)公式，它仍然含有冪方關(guān)系，是4次絕對(duì)非方冪式。

70、所以，n為任何整數(shù)時(shí)4n^3+6n^2+4n+1的值都不是完全4次方數(shù)，因而整數(shù)間不存在n^4+（4√4n3+6n2+4n+1）^4=（n+1）^4即z-x=1之4次方整數(shù)解關(guān)系，由增比計(jì)算法則可知，也不存在z-x=2，z-x=3，z-x=4，z-x=5……之4次方整數(shù)解關(guān)系。

71、但z-x＞1的xyz互素的費(fèi)馬方程式不能由增比法則表出，表出這些4次方費(fèi)馬方程式的方法是： 　　由（n+1）^4-n^4=8n3+24n2+32n+16，所以，n為任何整數(shù)它的值都不是完全4次方數(shù)； 　　由（n+1）^4-n^4=12n3+54n2+108n+81，所以，n為任何整數(shù)它的值都不是完全4次方數(shù)； 　　由（n+1）^4-n^4=16n3+96n2+256n+256，所以，n為任何整數(shù)它的值都不是完全4次方數(shù)； 　　…… 　　這種常數(shù)項(xiàng)的增加關(guān)系適合于全體整數(shù)，當(dāng)取n=2、3 … 時(shí)，費(fèi)馬方程4次方關(guān)系經(jīng)過(guò)增比后將覆蓋全體整數(shù)。

72、 　　所以費(fèi)馬方程x^n+y^n=z^n在指數(shù)為4時(shí)無(wú)整數(shù)解。

73、 　　m次方時(shí)，相鄰整數(shù)的方冪數(shù)的增項(xiàng)差公式為： 　　（ n+1）^m-n^m 　　=n^m+mn^m-1+…+…+mn+1-n^m 　　=mn^m-1+…+…+mn+1 　　所以，m次方相鄰整數(shù)的m次方數(shù)的增項(xiàng)差公式為mn^m-1+…+…+mn+1。

74、 　　由于mn^m-1+…+…+mn+1是（n+1）^m的缺項(xiàng)公式，它仍然含有冪方關(guān)系，是m次絕對(duì)非方冪式。

75、所以，n為任何整數(shù)時(shí)mn^m-1+…+…+mn+1 的值都不是完全m次方數(shù)，因而整數(shù)間不存在n^m+（m√mn^m-1+…+…+mn+1）^m =（n+1）^m即z-x=1之m次方整數(shù)解關(guān)系，由增比計(jì)算法則可知，也不存在z-x=2，z-x=3，z-x=4，z-x=5……之m次方整數(shù)解關(guān)系。

76、但z-x＞1的xyz互素的費(fèi)馬方程式不能由增比法則表出，表出這些m次方費(fèi)馬方程式的方法是： 　　由（n+2）^m-n^m=2mn^m-1+…+…+2^m-1 mn+2^m，所以，n為任何整數(shù)它的值都不是完全m次方數(shù)； 　　由（n+3）^m-n^m=3mn^m-1+…+…+3^m-1 mn+3^m，所以，n為任何整數(shù)它的值都不是完全m次方數(shù)； 　　由（n+4）^m-n^m=4mn^m-1+…+…+4^m-1 mn+4^m，所以，n為任何整數(shù)它的值都不是完全m次方數(shù)； 　　…… 　　這種常數(shù)項(xiàng)的增加關(guān)系適合于全體整數(shù)，當(dāng)取n=2、3 … 時(shí)，費(fèi)馬方程m次方關(guān)系經(jīng)過(guò)增比后將覆蓋全體整數(shù)。

77、 　　所以費(fèi)馬方程x^n+y^n=z^n在指數(shù)為m時(shí)無(wú)整數(shù)解。

78、 　　所以費(fèi)馬方程x^n+y^n=z^n在指數(shù)n＞2時(shí)永遠(yuǎn)沒(méi)有整數(shù)解。

79、 　　費(fèi)馬大定理： 當(dāng)整數(shù)n > 2時(shí)，關(guān)于x, y, z的不定方程 x^n + y^n = z^n. 無(wú)正整數(shù)解。

80、 　　費(fèi)馬矩陣大定理：當(dāng)整數(shù)n > 2時(shí)，關(guān)于m行m列矩陣X, Y, Z的不定矩陣方程 X^n + Y^n =Z^n. 矩陣的元素中至少有一個(gè)零。

81、當(dāng)整數(shù)n = 2時(shí)，求m行m列矩陣X, Y, Z。

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